Billar elíptico

Una mesa de billar con forma de elipse tiene una propiedad que parece truco de feria: coloca la bola en uno de los focos y golpéala en la dirección que quieras. Después de un rebote en la banda, la bola pasará siempre por el otro foco. En el aparato de la sala puedes intentarlo tú; en el demo de esta página puedes lanzar bolas a cualquier ángulo y verlo suceder.

¿Por qué funciona?

Es la propiedad de reflexión de la elipse: en cada punto de la curva, la recta tangente forma ángulos iguales con las dos líneas que van a los focos. Como una bola rebota igual que la luz —ángulo de llegada igual a ángulo de salida—, cualquier trayectoria que sale de un foco se refleja hacia el otro.

Y no acaba ahí. Si dejas que la bola siga rebotando, las trayectorias sucesivas se acercan más y más al eje mayor de la elipse: el segmento que une los focos actúa como imán de todas las trayectorias focales.

Las tres conductas del billar elíptico

Si la bola no parte de un foco, aparece una estructura escondida (los matemáticos la llaman cáustica):

• Si la trayectoria cruza el segmento entre los focos, lo cruzará siempre, y los rebotes se van envolviendo alrededor de una hipérbola con los mismos focos.
• Si no lo cruza, nunca lo cruzará, y la trayectoria es tangente una y otra vez a una elipse más pequeña con los mismos focos (elipse confocal).
• Justo en el caso límite, la trayectoria pasa por los focos y se aplana hacia el eje mayor.

¿Por qué en la mesa de la sala el rebote no sale perfecto?

Si lo intentas en el aparato, notarás que la bola pasa cerca del otro foco, pero no siempre exactamente por él. No es que el teorema falle: es que el teorema describe un mundo idealizado y la mesa es un objeto físico. Entran en juego varias cosas que la matemática pura ignora a propósito:

• La bola tiene tamaño, y el punto de contacto con la banda no es el punto de la curva que dice la teoría.
• Hay fricción con el paño y rotación de la bola, así que el rebote real no cumple con exactitud "ángulo de entrada igual a ángulo de salida".
• La banda no es perfectamente elástica ni perfectamente elíptica, y la bola no sale exactamente del foco.

Es un buen recordatorio de cómo funcionan las matemáticas aplicadas: el modelo ideal predice el comportamiento y explica por qué la bola tiende al otro foco; el mundo real añade correcciones. Que la bola pase cerca del foco tirando en cualquier dirección ya es la señal de que el teorema está ahí, trabajando.

Un laboratorio de sistemas dinámicos

Los billares matemáticos —partículas que rebotan en una región sin fricción— son un campo de investigación muy activo: son el modelo más limpio para estudiar cuándo un sistema es ordenado y cuándo caótico. El billar elíptico es el ejemplo perfectamente ordenado (se dice que es integrable); cambia apenas la forma de la mesa —un estadio con dos semicírculos, una mesa con un pico— y el movimiento se vuelve caótico. Una conjetura famosa, la de Birkhoff, afirma que las elipses son esencialmente las únicas mesas convexas tan ordenadas; demostrarlo por completo sigue siendo un problema abierto.