Mosaicos y simetrías
Caleidoscopios
Dos o tres espejos bastan para multiplicar el mundo con simetría perfecta.
El caleidoscopio es un instrumento que permite apreciar la belleza de las simetrías. Su nombre, de origen griego, significa literalmente «observar una imagen hermosa»: kalós (bello) + eîdos (forma) + skopéin (mirar). Lo patentó el físico escocés David Brewster en 1817, mientras estudiaba la polarización de la luz.
Tradicionalmente se construye con tres espejos rectangulares dispuestos en forma de prisma triangular. Al mirar al interior verás los reflejos de los reflejos de los reflejos, y así sucesivamente: ver a través de un caleidoscopio es asomarse al infinito.
La regla del ángulo
Dos espejos que se cruzan formando un ángulo \(\alpha\) producen, junto con las imágenes de las imágenes, un abanico de reflejos. Para que el patrón cierre perfectamente, sin costuras, el ángulo debe caber un número entero de veces en la media vuelta:
Con \(\alpha = 60°\) ves \(6\) sectores; con \(45°\), \(8\); con \(30°\), \(12\). El grupo de simetrías generado es el grupo diédrico \(D_n\), el mismo de un polígono regular de \(n\) lados. Si el ángulo no divide a \(180°\), las imágenes no embonan y aparecen "fantasmas" cortados.
Tres espejos: el patrón se vuelve infinito
La verdadera magia llega con tres espejos formando un prisma triangular. Ahora los reflejos se propagan en todas direcciones y llenan el plano completo con un mosaico infinito. Pero solo funcionan tres triángulos: los de ángulos
precisamente los únicos triángulos cuyos ángulos son todos de la forma \(180°/n\) y suman \(180°\). Cada uno genera uno de los grupos cristalográficos del plano; cualquier otro triángulo produce reflejos que se traslapan mal.
Los caleidoscopios de la sala están construidos con estos ángulos exactos. Lo que ves dentro no es una imagen parecida a un mosaico: es, ópticamente, un mosaico matemáticamente perfecto, generado en tiempo real por la luz.
Más allá del plano
La idea se generaliza a espejos en el espacio: conos de espejos que generan los grupos de simetría de los poliedros — así funcionan los rolidoscopios de esta sala y la pieza sobre las simetrías del dodecaedro y del icosaedro — e incluso a espejos en geometría hiperbólica, donde caben infinitos triángulos-caleidoscopio distintos. Los matemáticos llaman a estos sistemas grupos de reflexión o grupos de Coxeter, y aparecen en el corazón del álgebra moderna.