Caos, fractales y sistemas dinámicos
Conjunto de Cantor
Quita el tercio de en medio, y otra vez, y otra vez… lo que queda es polvo con tantos puntos como toda la recta.
Construye el polvo de Cantor
Mueve el control para avanzar en la construcción: en cada nivel se borra el tercio central de cada segmento. Abajo se muestra cuánta longitud va quedando.
La construcción, propuesta por Georg Cantor en 1883, es de una sencillez engañosa. Toma el segmento \([0,1]\). Bórrale el tercio de en medio: quedan dos segmentos. Bórrale a cada uno su tercio de en medio: quedan cuatro. Repite. Y repite. Para siempre.
Lo que sobrevive a la infinita demolición es el conjunto de Cantor: un "polvo" de puntos que el demo de esta página te deja construir paso a paso.
Un objeto lleno de paradojas
- No mide nada. Las longitudes borradas suman \(\tfrac13 + \tfrac29 + \tfrac{4}{27} + \cdots = 1\): se borró toda la longitud. El conjunto de Cantor tiene medida cero.
- Y sin embargo tiene tantísimos puntos. No solo los extremos de los segmentos, como podría parecer: tiene exactamente tantos puntos como toda la recta real — un infinito no numerable. La manera de verlo es escribir los números en base 3: sobreviven precisamente los que admiten una expansión con puros ceros y doses (el tercio de en medio son los que necesitan un uno). Cambiando los doses por unos, esos números recorren todas las expansiones binarias: todo \([0,1]\).
- Es polvo perfecto. No contiene ningún segmento, por pequeño que sea; ninguno de sus puntos está aislado: cada punto tiene vecinos del conjunto arbitrariamente cerca. Los topólogos lo llaman un conjunto perfecto y totalmente disconexo.
- Es fractal. Consta de dos copias de sí mismo a escala \(\tfrac13\): su dimensión no es ni \(0\) ni \(1\), sino \(\dim = \frac{\log 2}{\log 3} \approx 0.6309\).
El átomo de los fractales y del caos
El conjunto de Cantor parece un juguete lógico, pero es el ladrillo universal de la matemática moderna del desorden: los atractores extraños (como el de Lorenz, en esta misma sala) son, vistos de cerca, hojaldres de conjuntos de Cantor; los conjuntos de Julia de la dinámica compleja son con frecuencia polvos de Cantor; y todo sistema caótico esconde en su corazón una estructura de este tipo (las herraduras de Smale). Cantor lo inventó estudiando series de Fourier, y con las preguntas sobre el tamaño de estos conjuntos fundó nada menos que la teoría de los infinitos: la primera prueba de que hay infinitos más grandes que otros.
Para pensar
¿Cuánto polvo queda si en vez del tercio central quitas solo el cuarto central de cada segmento? Sorpresa: se puede repetir el juego quitando proporciones cada vez más pequeñas y obtener un polvo de Cantor "gordo", ¡con longitud total positiva y sin contener aún ningún segmento!