Curvas y superficies
Curvas de nivel
Rebanar un paisaje a alturas constantes lo convierte en un mapa plano que conserva toda la información del relieve.
¿Cómo dibujarías al Iztaccíhuatl visto desde arriba, en un mapa plano? La respuesta de los cartógrafos es rebanarlo: unir con una línea todos los lugares que están a la misma altura. Cada una de esas líneas es una curva de nivel.
Mira un mapa de curvas de nivel del Izta y trata de responder: ¿qué partes del terreno son las más altas? ¿Dónde están las laderas empinadas? Con un poco de práctica, un mapa plano te cuenta la forma completa de una montaña.
Leer un mapa de relieve
Con un poco de práctica, las curvas de nivel se vuelven un lenguaje:
- Curvas muy juntas significan pendiente empinada; curvas separadas, terreno suave.
- Una curva cerrada y pequeña rodea una cima (o el fondo de un cráter).
- Donde las curvas forman una "V" apuntando cuesta arriba, hay una cañada por la que baja el agua.
El aparato de la sala te deja comprobarlo con las manos: al mover el relieve, las líneas de luz que lo cortan a altura constante dibujan su mapa en vivo.
La versión matemática
Si la altura del terreno sobre el punto \((x, y)\) es una función \(f(x, y)\), la curva de nivel de valor \(c\) es el conjunto
Por ejemplo, las curvas de nivel de \(f(x,y) = x^2 + y^2\) (un paraboloide, como una fuente) son círculos concéntricos; las de una silla de montar \(f(x,y) = x^2 - y^2\) son hipérbolas. Un hecho fundamental del cálculo: el gradiente \(\nabla f\) —la dirección de máxima subida— es siempre perpendicular a la curva de nivel. Por eso el agua de lluvia cruza las curvas de nivel en ángulo recto mientras busca el descenso más rápido.
Mucho más que montañas
Las curvas de nivel permiten interpretar mapas para saber qué partes de un terreno son las más empinadas, y con eso se diseñan carreteras, presas y construcciones: una carretera que sube por una ladera va trazada, precisamente, para cruzar la menor cantidad posible de curvas de nivel.
La misma idea aparece dondequiera que haya una cantidad repartida sobre un plano: las isobaras de los mapas del clima son curvas de igual presión; las isotermas, de igual temperatura. Y también en medicina: una resonancia magnética o una tomografía funcionan con este principio, reconstruyendo un cuerpo tridimensional a partir de una pila de rebanadas planas.
El reto: adivinar la figura por sus cortes
Vamos a usar la idea al revés. Si con círculos de tamaños crecientes y luego decrecientes podemos armar una esfera —los círculos son sus curvas de nivel—, ¿qué figura corresponde a otros cortes?
- Rebanadas triangulares que empiezan pequeñas y crecen: un tetraedro.
- Rebanadas cuadradas todas del mismo tamaño: un cubo.
- Rebanadas cuadradas que crecen y luego decrecen: un octaedro.
En la sala puedes hacer este ejercicio con las piezas rebanadas y comprobar tus predicciones armando la figura.
Y un salto a la cuarta dimensión
Aquí viene lo mejor. Acabamos de "ver" objetos de tres dimensiones a partir de sus cortes de dos dimensiones. Pensando igual, podemos "ver" objetos de cuatro dimensiones a partir de sus rebanadas tridimensionales: si un hipercubo atravesara nuestro espacio, veríamos aparecer un cubo, crecer, deformarse y desaparecer.
Es exactamente lo que hace la pieza del hipercubo quiral mexicano de esta sala, y la de politopos: mostrarnos en tres dimensiones las sombras y los cortes de algo que vive en cuatro. Las curvas de nivel no son solo una técnica de cartografía; son una manera de mirar lo que no cabe en nuestros ojos.