Números y patrones
El Triángulo de Pascal
Un triángulo de números donde cada entrada es la suma de las dos de arriba, y que esconde una sorprendente cantidad de patrones.
Juega: colorea el triángulo
Cada casilla es un número del triángulo. Se pintan las que no son divisibles entre el número que elijas. Con el 2 (los impares) aparece el triángulo de Sierpiński.
Sugerencia: sube el número de renglones y observa cómo el patrón se refina a sí mismo: es un fractal autosemejante.
La regla para construirlo cabe en una frase: cada número es la suma de los dos que tiene encima. Empezamos con un \(1\) en la punta y el triángulo crece renglón por renglón:
Aunque en Occidente lleva el nombre de Blaise Pascal (1623–1662), este triángulo ya era conocido siglos antes en China, India y Persia. Pascal lo estudió a fondo para resolver problemas de juegos de azar, y con ello ayudó a fundar la teoría de la probabilidad.
¿Qué cuentan estos números?
El número que está en el renglón \(n\) y la posición \(k\) (contando desde cero) se llama coeficiente binomial y se escribe \(\binom{n}{k}\). Cuenta de cuántas maneras se pueden elegir \(k\) objetos de entre \(n\). Por ejemplo, \(\binom{4}{2}=6\): hay exactamente \(6\) parejas distintas que se pueden formar con \(4\) personas.
Los mismos números aparecen al desarrollar potencias de una suma:
Patrones escondidos
- La suma de cada renglón es una potencia de \(2\): el renglón \(n\) suma \(2^n\).
- Las diagonales contienen los números naturales, los triangulares (\(1, 3, 6, 10, \dots\)) y más familias famosas.
- Sumando en diagonales inclinadas aparecen los números de Fibonacci.
- Si pintas los números impares de un color, ¡surge el fractal conocido como triángulo de Sierpiński! Puedes comprobarlo en el demo interactivo de esta página.
Para pensar
¿Por qué la suma de un renglón es el doble de la suma del anterior? Observa que cada número de un renglón se usa exactamente dos veces para construir el siguiente.