Isometrías

¿Cómo transformar un objeto sin modificarlo? Esa es la pregunta que responde esta pieza.

Una isometría es un movimiento que no deforma: lleva cada figura a otra con exactamente las mismas distancias entre sus puntos ("isometría" significa igual medida en griego). Son los movimientos de las piezas rígidas de un rompecabezas sobre la mesa.

Solo hay cuatro

Un teorema elegante y sorprendente: toda isometría del plano es de uno de estos cuatro tipos.

• Traslación: deslizar todo en una dirección fija, sin girar.
• Rotación: girar alrededor de un punto fijo un cierto ángulo.
• Reflexión: el reflejo en un espejo recto; lo izquierdo se vuelve derecho.
• Reflexión con deslizamiento: reflejar en una recta y deslizar a lo largo de ella. Es la simetría de las huellas de pies en la arena: la huella izquierda es la derecha reflejada y adelantada.

No hay más. Cualquier manera de mover el plano rígidamente, por complicada que parezca —girar un poco aquí, luego reflejar allá, luego trasladar— equivale a una sola de estas cuatro operaciones. Las dos primeras conservan la orientación (un reloj sigue girando igual); las dos últimas la invierten.

Más elegante aún: todo se fabrica con espejos. Una traslación es el resultado de reflejar en dos espejos paralelos; una rotación, de reflejar en dos espejos que se cruzan. Toda isometría del plano es composición de a lo más tres reflexiones. Por eso los caleidoscopios de esta sala, hechos solo de espejos, pueden generar cualquier simetría.

El lenguaje de la simetría

Decir que una figura "tiene simetría" es decir que alguna isometría la deja idéntica: la mariposa es invariante bajo una reflexión, la flor de cinco pétalos bajo la rotación de \(72°\), el friso de un edificio bajo cierta traslación. El conjunto de todas las isometrías que preservan una figura forma su grupo de simetrías, y clasificar esos grupos organiza el mundo visual entero: 7 tipos de frisos, 17 tipos de papel tapiz, los grupos de los poliedros… La simetría, que parece un asunto de belleza, se volvió con la teoría de grupos una de las herramientas más poderosas de las matemáticas y de la física.