Mosaicos poligonales

Cubrir el piso con piezas repetidas, sin dejar huecos ni encimarlas, es un arte milenario —de los mosaicos romanos a los azulejos de la Alhambra— y también un problema matemático con respuestas precisas.

Los tres mosaicos regulares

Si exiges que todas las piezas sean un mismo polígono regular, solo hay tres soluciones: triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos. La razón es un cálculo de ángulos: alrededor de cada esquina deben reunirse ángulos que sumen exactamente \(360°\). El ángulo interior de un polígono regular de \(n\) lados mide \(\frac{(n-2)180°}{n}\), y solo para \(n = 3, 4, 6\) ese ángulo divide a \(360°\). El pentágono queda fuera: sus ángulos de \(108°\) dejan hueco o se enciman.

Las abejas lo saben a su manera: el panal hexagonal es la forma de dividir el plano en celdas iguales usando el menor perímetro de pared por celda. Esta afirmación, la conjetura del panal, se sospechaba desde la antigüedad y solo fue demostrada en 1999 por Thomas Hales.

Mezclando figuras

Si se permiten varios polígonos regulares, pero se exige que en toda esquina se repita el mismo arreglo, aparecen exactamente ocho mosaicos más, los semirregulares o arquimedianos: octágonos con cuadrados (el piso clásico de las banquetas), hexágonos con triángulos, dodecágonos con triángulos… En el aparato de la sala puedes armarlos con piezas y convencerte de por qué no hay más.

Con figuras no regulares el juego se abre: cualquier triángulo y cualquier cuadrilátero, aunque sea irregular, cubre el plano (gira cada pieza \(180°\) alrededor del punto medio de un lado). Con pentágonos convexos la historia es fascinante: se conocen exactamente 15 familias que funcionan, la última descubierta en 2015, y en 2017 se demostró que la lista está completa.

Para pensar

Todos estos mosaicos son periódicos: tienen un motivo que se repite por traslación, como papel tapiz. ¿Habrá piezas que cubran el plano pero solo de manera no repetitiva? La respuesta —sí— te espera en la pieza vecina: el mosaico de Penrose.