Números primos

Un número primo es un natural mayor que \(1\) que solo es divisible entre \(1\) y él mismo: \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, \dots\)

Son los átomos de la aritmética: el teorema fundamental de la aritmética garantiza que todo número natural mayor que \(1\) se escribe como producto de primos de una única manera (salvo el orden). Por ejemplo,

y \(1013\) es primo, así que ahí termina la descomposición.

¿Cuántos hay?

Hace más de dos mil años, Euclides demostró que los primos nunca se acaban. Su argumento sigue siendo una joya: si tuvieras una lista finita de todos ellos, digamos \(p_1, p_2, \dots, p_n\), el número $\(N = p_1 \cdot p_2 \cdots p_n + 1\)$ deja residuo \(1\) al dividirlo entre cualquiera de los primos de tu lista, así que algún primo que divide a \(N\) no estaba en la lista. ¡Contradicción!

Un desorden con reglas

Los primos aparecen de manera irregular: a veces hay parejas muy cercanas, como \(101\) y \(103\), y a veces huecos enormes sin ningún primo. Sin embargo, vistos desde lejos obedecen una ley notable, el teorema de los números primos: la cantidad de primos menores que \(x\) es aproximadamente \(x/\ln x\).

Muchas preguntas sobre ellos siguen abiertas. La conjetura de los primos gemelos pregunta si hay una infinidad de parejas de primos que difieren en \(2\), y la conjetura de Goldbach, si todo número par mayor que \(2\) es suma de dos primos. Nadie lo sabe.

Primos que nos cuidan

Para saber si un número muy grande es primo hay que hacer muchísimas divisiones, y eso toma tiempo incluso para una supercomputadora. Justo por eso los primos enormes sirven para proteger la información en los sistemas bancarios y digitales: multiplicar dos primos gigantescos es fácil, pero recuperar los factores a partir del producto es tan difícil que nadie puede hacerlo a tiempo. Cada vez que tu teléfono se conecta a un sitio seguro, tus mensajes y tus cuentas están protegidos por aritmética pura.

¿Los animales saben contar?

Contar es una ventaja evolutiva, y la naturaleza lo descubrió mucho antes que nosotros. Las abejas distinguen cantidades pequeñas, las salamandras eligen dónde hay más comida, y los cuervos pueden contar al menos hasta cuatro. Muchos animales distinguen entre "poco" y "mucho", o entre "dos" y "tres".

Pero lo que la humanidad creó es distinto: la idea de número como algo independiente de las cosas que se cuentan. El cinco es lo que tienen en común cinco piedras, cinco plátanos y cinco minutos. Ese salto —de contar cosas a inventar números— es el que abre la puerta al universo entero de los objetos matemáticos, primos incluidos.

Contar puede ser fácil, difícil… o imposible

Con paciencia podrías contar los granos de arena de un puñado, las hojas de un árbol o las estrellas de un pedazo de cielo. Pero, ¿hay formas de hacerlo más rápido?

Sí: estimar. A partir de lo que vemos en una porción pequeña podemos calcular cuánto hay en el total, incluso en aquello que no alcanzamos a ver. Si en una ventana de \(1 \times 1\) se ven \(13\) estrellas, en una de \(10 \times 10\) habrá alrededor de \(1\,300\).

Este principio se usa en el Conteo Rápido de las elecciones en México: la comunidad matemática ayuda al INE a elegir cuidadosamente unas cuantas casillas representativas para estimar el resultado en pocas horas. La palabra clave es cuidadosamente: la muestra no se toma al azar de cualquier manera, sino con un diseño estadístico que garantiza el margen de error. Estimar bien es tan matemático como contar.