Rolidoscopios

Un caleidoscopio común tiene tres espejos en forma de prisma triangular, y sus reflejos llenan un plano. Los caleidoscopios de esta sala son distintos y muy especiales: sus reflejos ocupan todo el espacio. Por eso tienen nombre propio, rolidoscopios, en honor al geómetra mexicano Javier Bracho, «El Roli», del Instituto de Matemáticas de la UNAM. Fueron realizados junto con Juan Sandoval.

Al asomarte verás los reflejos de los reflejos de los reflejos, y así sin fin: mirar por un caleidoscopio es asomarse al infinito.

De espejos planos a poliedros

El truco está en la forma de la cámara de espejos. En un caleidoscopio plano, dos espejos que se cruzan en un ángulo \(180°/n\) generan \(2n\) sectores idénticos alrededor de un punto. Si en vez de eso se arma una cámara con espejos dispuestos como las caras de un cono poliédrico, los reflejos ya no llenan un plano: llenan el espacio de tres dimensiones, y lo que aparece ante tus ojos es la figura completa de un poliedro, reconstruida a partir de un solo gajo.

Dicho de otra manera: el rolidoscopio no muestra un poliedro, lo genera con luz. El grupo de simetrías del sólido está literalmente construido con espejos, y cada reflejo es uno de sus elementos.

Un reto mientras miras

¿Ya jugaste con los sólidos platónicos de esta sala? Asómate a los rolidoscopios y trata de reconocer cuáles de ellos aparecen dentro. Busca las caras triangulares, las cuadradas y las pentagonales, y cuenta cuántas se reúnen en cada esquina: eso basta para identificar el sólido.

Para pensar

Los espejos de un caleidoscopio no pueden formar cualquier ángulo: si el ángulo no cabe un número entero de veces en la media vuelta, los reflejos no embonan y aparecen figuras cortadas. Lo mismo ocurre en el espacio, y por eso solo unas cuantas cámaras de espejos funcionan: las que corresponden a los grupos de simetría de los poliedros regulares. La lista de rolidoscopios posibles es, en el fondo, la misma lista de los cinco sólidos platónicos.