Simetrías del dodecaedro y del icosaedro

El dodecaedro (12 pentágonos) y el icosaedro (20 triángulos) no se parecen a simple vista. Y sin embargo tienen exactamente el mismo grupo de simetrías: los mismos giros y las mismas reflexiones dejan a cada uno idéntico a sí mismo. La razón es que son duales: los centros de las caras de uno son los vértices del otro, así que todo movimiento que preserva a uno preserva automáticamente al otro.

Hay un tercer compañero en la exhibición, más extraño: el dodecaedro estrellado. Y comparte el mismo grupo de simetrías que los otros dos.

Una notación que los nombra a los tres

Los geómetras los identifican con dos números, el símbolo de Schläfli \(\{p, q\}\): \(p\) es el número de lados de cada cara y \(q\) cuántas caras se reúnen en cada vértice.

• El icosaedro es \(\{3, 5\}\): caras triangulares (3 lados), con 5 triángulos alrededor de cada vértice.
• El dodecaedro es \(\{5, 3\}\): caras pentagonales, con 3 pentágonos por vértice. (Nota cómo la dualidad es simplemente intercambiar los dos números.)
• El dodecaedro estrellado es \(\{5/2, 5\}\): sus caras también son pentagonales, pero recorridas en forma de estrella, contando los vértices de dos en dos —de ahí el \(5/2\)—, con 5 pentagramas alrededor de cada vértice.

Ese tercer objeto es uno de los cuatro poliedros de Kepler-Poinsot: regulares como los platónicos, pero con caras estrelladas que se atraviesan entre sí. Kepler describió dos de ellos en 1619.

Qué es un grupo de simetrías

Hay objetos matemáticos que quedan descritos casi por completo por las transformaciones del espacio que los dejan invariantes. Esas transformaciones forman el grupo de simetrías del objeto. Estudiar la figura y estudiar su grupo son, en buena medida, la misma tarea — y por eso resulta tan revelador que estos tres cuerpos tan distintos compartan grupo.

Contemos los giros

¿Cuántas maneras hay de girar un icosaedro y que quede exactamente igual? Podemos contarlas por sus ejes de rotación:

• 6 ejes que atraviesan pares de vértices opuestos: giros de \(72°, 144°, 216°, 288°\) → \(6 \times 4 = 24\) rotaciones.
• 10 ejes por centros de caras opuestas: giros de \(120°\) y \(240°\) → \(10 \times 2 = 20\) rotaciones.
• 15 ejes por puntos medios de aristas opuestas: giros de \(180°\) → \(15\) rotaciones.
• La identidad (no mover nada): \(1\).

Total: \(24 + 20 + 15 + 1 = 60\) rotaciones. Agregando las reflexiones y sus combinaciones, el grupo completo tiene \(120\) elementos. En el aparato de la sala (espejos que forman un cono caleidoscópico) puedes ver este grupo en acción: un solo gajo del poliedro, reflejado una y otra vez, reconstruye la figura completa.

Un grupo célebre

El grupo de las 60 rotaciones tiene nombre y apellido en matemáticas: es \(A_5\), el grupo alternante de 5 objetos, y es protagonista de una de las historias más profundas del álgebra. Évariste Galois demostró (a los 20 años, en 1832, la víspera del duelo que lo mató) que una ecuación polinomial se puede resolver con radicales solo si su grupo de simetrías se "desarma" en piezas conmutativas. \(A_5\) es el grupo más pequeño que no se desarma —los matemáticos dicen que es simple y no abeliano—, y es exactamente el grupo de la ecuación general de quinto grado. Por eso no existe una fórmula como la de la ecuación cuadrática, escrita con raíces, para el grado 5.

Dicho de otra manera: la razón profunda por la que nadie encontró jamás la fórmula de la quíntica está girando frente a ti, hecha de pentágonos.

Para pensar

¿Por qué el número \(5\) aparece en ambos lados —pentágonos en el poliedro, quinto grado en la ecuación? Los cinco cubos que se pueden inscribir en un dodecaedro son la clave: las rotaciones del dodecaedro los permutan, y así el grupo "actúa sobre 5 objetos".