Superficies de revolución

Toma una curva plana y hazla girar alrededor de una recta: el rastro que deja en el espacio es una superficie de revolución. Es el principio del torno del alfarero, y también una fábrica inagotable de formas geométricas:

• Una recta paralela al eje genera un cilindro; una recta inclinada, un cono.
• Una semicircunferencia genera la esfera.
• Un círculo que gira alrededor de una recta que no lo toca genera el toro: la forma de la dona.
• La curva que describe una cadena colgante (la catenaria) genera el catenoide, la forma que adopta una película de jabón entre dos aros.

La simetría lo simplifica todo

Si la curva es la gráfica de una función \(f\) y gira alrededor del eje \(x\), la superficie queda descrita por $\(y^2 + z^2 = f(x)^2,\)$ y su simetría permite calcular con una sola integral el volumen que encierra, $\(V = \pi \int_a^b f(x)^2 \, dx,\)$ idea que Arquímedes ya usaba, siglos antes del cálculo, para comparar la esfera con el cilindro que la envuelve. Su resultado favorito está grabado en su tumba: la esfera ocupa exactamente \(\tfrac{2}{3}\) del cilindro circunscrito.

Formas que trabajan

La naturaleza y la ingeniería aman estas superficies porque la simetría reparte esfuerzos: gotas, burbujas, botellas, focos, torres de enfriamiento, tinacos y turbinas son superficies de revolución (¡las torres de enfriamiento de las plantas eléctricas son hiperboloides, que además son superficies regladas: ve la pieza vecina!). El catenoide y la esfera de jabón son ejemplos de superficies mínimas y de área mínima con volumen dado: la física busca la forma más barata y la geometría la describe.

Para pensar

El toro y la esfera son ambos superficies de revolución, pero no son "iguales": ninguna deformación continua convierte una en la otra, porque el agujero de la dona no puede crearse ni destruirse sin romper. Esa diferencia esencial es el punto de partida de la topología, que encontrarás en varias piezas de esta sala.