SURFER

En la pantalla de SURFER, una ecuación se convierte al instante en una escultura tridimensional. El programa dibuja superficies algebraicas: los conjuntos de puntos \((x, y, z)\) que satisfacen una ecuación polinomial

Cambia un coeficiente y la forma respira, se estira, se rompe en pedazos o le nacen picos. Es álgebra vuelta materia.

Ecuaciones con forma

Unos ejemplos para empezar a jugar:

• \(x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0\) es la esfera de radio \(1\).
• \(x^2 + y^2 - z^2 = 0\) es un cono doble; súmale \(1\) o réstale \(1\) y obtendrás los dos tipos de hiperboloide.
• \((x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2 = 4R^2(x^2+y^2)\) es el toro, la dona.

El grado del polinomio (el exponente total más alto) organiza el zoológico: grado 1 da planos, grado 2 las cuádricas (esferas, elipsoides, paraboloides, hiperboloides), y del grado 3 en adelante la variedad explota. Algunas superficies célebres tienen nombre propio, como la superficie de Clebsch (grado 3), que contiene exactamente 27 rectas completas —un teorema famoso de 1849—, o la séxtica de Barth (grado 6), erizada de 65 puntos cónicos, el máximo posible en su grado.

Singularidades: donde la superficie se pellizca

Los puntos donde la superficie deja de ser lisa —picos, cruces, pellizcos— se llaman singularidades, y son de los objetos más estudiados de la geometría algebraica. En SURFER puedes fabricarlas tú: la superficie \(x^2 + y^2 - z^3 = 0\) tiene un pico en el origen. Contar cuántas singularidades caben en una superficie de grado dado es un problema de investigación que sigue abierto.

De Oberwolfach a UNIVERSUM

SURFER nació para la exposición internacional IMAGINARY del Instituto de Investigación Matemática de Oberwolfach (Alemania), que ha recorrido el mundo mostrando que las matemáticas también entran por los ojos. Esta sala —el Imaginario Matemático— hereda ese espíritu: aquí las ecuaciones no se resuelven, se contemplan.