Tabla periódica de todos los nudos

Así como la química ordena sus elementos en la tabla periódica, la teoría de nudos ordena los suyos en tablas: todos los nudos posibles, clasificados por su número de cruces, el mínimo número de cruces con que se pueden dibujar. La tabla de esta sala es ese catálogo: el "abecedario" completo del anudamiento.

Leyendo la tabla

• Con \(0\) cruces solo está el nudo trivial: el aro sin anudar.
• Con \(1\) o \(2\) cruces no hay nudos genuinos (todo se desanuda).
• Con \(3\) cruces: el trébol, el primer nudo de verdad.
• Con \(4\): el nudo ocho, único en su clase.
• Con \(5\): dos nudos; con \(6\): tres; con \(7\): siete… y a partir de ahí la población explota: \(165\) nudos de \(10\) cruces, \(9\,988\) de \(13\), más de un millón y medio de \(16\) cruces. El crecimiento es exponencial y el censo actual llega hasta los \(19\) cruces, con más de trescientos millones de nudos catalogados.

Cada nudo de la tabla lleva una etiqueta como \(6_2\) ("el segundo nudo de seis cruces"), herencia de las tablas del siglo XIX.

Una tabla nacida de un error glorioso

La primera tabla la hicieron a mano Tait, Kirkman y Little en la década de 1870, ¡motivados por una teoría física falsa! Lord Kelvin proponía que los átomos eran vórtices anudados del éter, así que tabular nudos era, creían, tabular los elementos químicos: la "tabla periódica" original de los nudos se proponía serlo de la materia. El éter no existía, pero la matemática sobrevivió al naufragio. Y con moraleja incluida: la tabla de Tait contuvo durante 75 años un duplicado —dos diagramas del mismo nudo contados como distintos, el famoso par de Perko, descubierto apenas en 1973—. Distinguir nudos es tan difícil que hasta los maestros se equivocaron.

El problema sigue vivo

Hoy el censo lo hacen computadoras armadas con los invariantes modernos (polinomios de Jones y HOMFLY, homologías de nudos), pero el problema de fondo —decidir con eficiencia si dos diagramas representan el mismo nudo— sigue siendo un reto computacional serio, y preguntas tan básicas como ¿el número de cruces se suma al componer dos nudos? continúan abiertas. Esta tabla, como la de los elementos, está terminada solo hasta donde alcanza la vista.