Toro de los siete colores

Colorear un mapa puede convertirse en un problema matemático desafiante. Decimos que una coloración es buena si dos países que comparten frontera tienen colores distintos. La pregunta es: ¿cuántos colores hacen falta?

Para cualquier mapa dibujado sobre la Tierra la respuesta es cuatro, y nunca más de cuatro. Y eso ocurre por una razón que suena sorprendente: porque la Tierra es esférica.

Si la Tierra fuera una dona

Si nuestro planeta tuviera forma de dona —lo que en matemáticas se llama un toro—, la respuesta cambiaría por completo: existirían mapas que no se pueden colorear con cuatro colores, ni con cinco, ni con seis. Harían falta siete.

El objeto que se exhibe aquí es la prueba viviente de eso. Se llama poliedro de Szilassi, tiene siete caras y, si lo inflaras como un globo, tendría forma de dona. Obsérvalo con cuidado: cada una de sus caras toca a las otras seis. Por eso ninguna pareja de caras puede compartir color, y por eso hacen falta siete.

Es como una fiesta de siete personas en la que absolutamente todas se conocen entre sí.

Un objeto raro y precioso

Lo descubrió el matemático húngaro Lajos Szilassi en 1977, aunque desde 1892 se sabía por el teorema de Heawood que un objeto así tenía que existir: la teoría lo predecía y hubo que esperar 85 años a que alguien lo construyera.

Es apenas el segundo miembro de una familia de poliedros en los que toda cara toca a todas las demás. El primero es el humilde tetraedro: sus cuatro caras se tocan entre sí, y por eso necesita cuatro colores. Después del tetraedro y del Szilassi, la familia se vuelve esquiva; hace poco se encontró un tercer miembro.

La escultura de la sala es obra de Salvador Manzano (1992, acero), que convirtió esta rareza geométrica en una pieza de arte.

Para explorar

• Cuenta las vecindades. Toma una cara y sigue su contorno: ¿logras tocar las seis restantes?
• Compara con un cubo. En un cubo, ¿cada cara toca a todas las demás? ¿Qué caras no se tocan? ¿Y en un tetraedro?
• Colorea los sólidos platónicos. ¿Cuántos colores necesita un cubo? ¿Y un dodecaedro? ¿Alguno de los cinco cumple que todas sus caras se tocan?

Para pensar

El número de colores necesarios depende de la forma del mundo, no del mapa. Esa es una de las ideas centrales de la topología: la esfera y la dona son superficies genuinamente distintas, y esa diferencia —el agujero— se manifiesta hasta en algo tan cotidiano como pintar un mapa.